Metode Akolade (Grafik dan Bagi Dua)

        Hallo, sebagai mahasiswi pendidikan fisika, kita diajarkan mata kuliah fisika komputasi lho.. salah satu materinya adalah Metode Akolade (Grafik dan Bagi dua). Materi ini membahas tentang bagaimana caranya kita membuat sebuah koding di berbagai software untuk menemukan akar persamaan. Mari kita simak pembahasan tiap materinya...

A. Angka Penting

        Angka signifikan atau angka penting menyatakan suatu kendala sebuah nilai numerik. Banyaknya angka penting adalah banyaknya digit tertentu yang meyakinkan kita. Beberapa angka nol tak selamanya angka penting, karena mereka diperlakukan sekedar menempatkan sebuah titik desimal. Misal, bilangan 0,00001845 lalu 0,0001845 lalu 0,001845 memiliki 4 angka penting (Subakti, 2006).

a.     Aturan-aturan penulisan angka penting menurut (Riskawati & Karim, 2019):

1.     Angka yang tidak nol selalu signifikan.

Misal: 184,5 m mengandung 4 angka penting.

           18,4 s mengandung 3 angka penting.

2.     Angka nol disebut signifikan, jika letaknya di antara angka yang bukan nol.

Misal: 180, 45 liter mengandung 5 angka penting.

             10, 5 kg mengandung 3 angka penting.

3.    Angka nol di sebelah kanan angka yang bukan nol termasuk angka penting, kecuali jika ada penjelasan lain, misalnya berupa garis bawah angka terakhir yang masih dianggap angka penting.

Misal: 18,40 cm mengandung 4 angka penting.

                    18,400 cm mengandung 4 angka penting.

                    18400 cm mengandung 3 angka penting.

4.    Angka nol tidak signifikan, jika terletak di sebelah kiri angka yang bukan nol, baik di sebelah kiri atau kanan koma desimal.

Misal: 0,18 ml mengandung 2 angka penting.

           0,0018 ml mengandung 2 angka penting.

b.     Penulisan angka penting dalam notasi ilmiah

Pada bilangan sepuluh pangkat, angka penting dapat dituliskan dalam bentuk:

Atau yang biasa disebut sebagai notasi ilmiah, dimana besarnya a antara -10 dan -1 atau antara +1 sampai +10, dan n adalah bilangan bulat positif atau negatif.

Contoh:

Berdasarkan contoh di atas, perubahan satuan tidak boleh mengubah jumlah angka penting. Maka bilangan a menunjukkan angka penting.  

c.     Pengoperasian angka penting

Dalam aturan berhitung dengan angka penting, yang harus diingat adalah jumlah angka penting pada hasil perhitungan tidak mungkin melebihi jumlah angka penting pada hasil pengukuran.

1.     Penjumlahan dan Pengurangan

Pada operasi ini bilangan-bilangan dengan berpedoman pada aturan angka penting, hasil operasinya hanya boleh mengandung satu angka yang diragukan.

Contoh:

·       35,572             angka 2 diragukan

  2,2626 +        angka 6 diragukan

37,8346           angka 4 dan 6 diragukan, sehingga hasil penjumlahan ditulis 37,835 disesuaikan dengan aturan pembulatan.

·       35,572             angka 2 diragukan

  2,2626 -         angka 6 diragukan

33,3094           angka 9 dan 4 diragukan, sehingga hasil pengurangan ditulis 33,309 supaya hanya terdapay satu angka yang diragukan

2.     Perkalian dan Pembagian

Pada operasi ini, jumlah angka penting disesuaikan dengan jumlah deretan angka penting yang paling sedikit.

Contoh:

·       2,04                 mengandung tiga angka penting

3,5    x             mengandung dua angka penting

7,140              Hasil perkalian hanya boleh mengandung dua angka penting sesuai dengan deret angka yang paling sedikit, sehingga hasil perkalian ditulis 7,1

·       6,7825             mengandung lima angka penting

2,5        :          mengandung dua angka penting

2,713               Hasil Pembagian hanya boleh mengandung dua angka penting, sehingga hasilnya ditulis 2,7

3.     Penarikan akar

Penulisan hasil dan penarikan akar disesuaikan dengan jumlah angka penting yang terkandung pada bilangan yang ditarik akarnya.

Contoh:

B. Akurasi dan Presisi

Akurasi, presisi, dan ketidakpastian hasil pengukuran merupakan parameter-parameter yang saling berkaitan satu sama lain, yang digunakan sebagai indikator untuk kerja suatu metode pengujian. Ketidakpastian pengukuran mempunyai kontribusi yang cukup besar dalam menentukan akurasi dan presisi (Ratnawati & Sunarko, 2008).

Akurasi dapat dinyatakan sebagai ukuran seberapa dekat nilai hasil ukur rata-rata yang diperoleh dari sejumlah pengukuran berulang terhadap nilai sesungguhnya (Ratnawati & Sunarko, 2008), sedangkan presisi merupakan proses pengukuran yang memiliki kesalahan acak sekecil mungkin. Akurasi mengacu pada seberapa dekat angka pendekatan/pengukuran terhadap harga sebenarnya. Sedangkan presisi mengacu pada: jumlah angka signifikan yang menyatakan suatu besaran dan penyebaran dari nilai-nilai yang terbaca dari suatu alat ukur (Subakti, 2006). Kesalahan pada pengukuran mewakili dua hal, yaitu tidak akurat dan tidak presisi dari suatu pengukuran yang dilakukan (Wulan, 2016).

C. Galat (Kesalahan/Eror)

Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis. Penyelesaian numerik akan memberikan kesalahan terhadap nilai eksak yang dinamakan dengan galat.

Beberapa jenis galat, yaitu sebagai berikut: 

1. Kesalahan relatif (relative error) yaitu galat absolut dibagi dengan nilai sebenarnya. Karena nilai sebenarnya tidak diketahui maka digunakan nilai pendekatan.

    2.Kesalahan bawaan (inheren) yaitu galat dari data sendiri. Galat yang mungkin terjadi karena                    pengamatan yang kurang tepat ataukah karena adanya kekeliruan. Misalnya dalam pengukuran             yaitu seharusnya panjang sama dengan 4,05 meter ditulis 4 meter saja dan sebagainya.

    3. Kesalahan pemotongan: berhubungan dengan cara pelaksanaan prosedur numerik

Contoh pada deret Taylor tak berhingga:

Dapat dipakai untuk menghitung sinus sebarang sudut x dalam radian

- Jelas kita tdk dapat memakai semua suku dalam deret, karena deretnya tak berhingga

- Kita berhenti pada suku tertentu misal x 9

- Suku yg dihilangkan menghasilkan suatu galat

4. Kesalahan pembulatan

Akibat pembulatan angka, terjadi pada komputer yg disediakan beberapa angka tertentu misal; 5 angka: Penjumlahan 9,2654 + 7,1625

Hasilnya 16,4279 Ini terdiri 6 angka sehingga tidak dapat disimpan dalam komputer kita dan akan dibulatkan menjadi 16,428

5. Blunder (Mistakes). Blunder bukanlah suatu error. Misalnya bilangan 6238 dibaca sebagai 6328, bilangan 62238 dibaca sebagai 62338.

D. Perhitungan Akar Persamaan Metode Grafik

Dalam fisika, kita sering menghadapi situasi di mana kita perlu mencari kemungkinan nilai x yang memastikan persamaan f (x) = 0, di mana f (x) bisa menjadi eksplisit atau fungsi implisit dari x. Jika nilai seperti itu ada, kita menyebutnya akar atau nol dari persamaan. Sebuah fungsi berdasarkan jenisnya akan berubah tanda di sekitar suatu harga akar. Teknik ini dinamakan metode akoladi (bracketing method), karena dibutuhkan 2 tebakan awal untuk akar. Sesuai namanya, tebakan tersebut harus “dalam kurung” atau berada pada kedua sisi nilai akar. Untuk memperoleh taksiran akar persamaan f(x) = 0 ialah dengan membuat grafik fungsi itu dan mengamati dimana ia memotong sumbu x. Titik ini, yang menyatakan harga x untuk f(x) = 0, memberikan suatu pendekatan kasar dari akar tersebut.

Metode grafik merupakan metode sederhana untuk mendapatkan akar perkiraan dari persamaan f(x)=0 dengan membuat plot dari fungsi dan mengamatinya di mana fungsi tersebut memotong sumbu x. Di titik ini, yang merepresentasikan nilai x yang membuat f(x)=0, memberikan hampiran kasar bagi akar persamaan itu.

Contoh Pendekatan Grafik

Gunakan pendekatan grafik untuk memperoleh suatu akar persamaan dari f(x) = e^-x – x. Solusinya yang kita peroleh dapat disajikan dalam tabel 4.1 dan gambar 4.1 seperti berikut ini. Pada gambar 4.1 terlihat grafik f(x) = e^-x – x terhadap x. Akar sesuai dengan harga x dimana f(x) = 0, yaitu titik dimana fungsi memotong sumbu x. Pemeriksaan secara visual mengenai plot memberikan taksiran kasar 0,57.

x	f(x)
0,0	1,000
0,2	0,619
0,4	0,270
0,8	-0,051
0,8	-0,351
1,0	-0,632

Tabel 4.1 Solusi pendekatan grafi

Gambar 4.1. Ilustrasi pendekatan grafik untuk memecahkan persamaan aljabar dan transendental

Harga sebenarnya adalah 0,56714329… Kecocokan taksiran visual dapat dicek dengan memasukkan harga itu ke dalam persamaan awal agar memenuhi: F(0,57) = e^-0,57 – 0,57 = -0,0045 yang mendekati nol. Teknik grafik praktis digunakan, dan dapat memberikan taksiran akar secara kasar, tapi tidak presisi. Ia dapat digunakan sebagai tebakan awal dalam metode numerik. Interpretasi grafik penting untuk memahami sifat-sifat fungsi dan dapat memperkirakan jebakan pada metode numerik, seperti terlihat pada gambar 4.2 di bawah ini. Pada gambar 4.2 di bawah ini terlihat bagian (a) dan (c) menunjukkan bahwa bila f(x_l) dan f(x_u) mempunyai tanda yang sama, tidak akan ada akar-akar atau akar dalam jumlah genap pada interval. Bagian (b) dan (d) menunjukkan bahwa bila fungsi mempunyai tanda yang berbeda pada kedua titik ujung, akan terdapat akar dalam jumlah ganjil pada interval.

Gambar 4.2 memperlihatkan sejumlah cara dimana akar bisa berada dalam interval yang dijelaskan oleh suatu batas bawah x_l dan batas atas x_u. Gambar 4.2b memperlihatkan kasus dmana sebuah akar tunggal dikurung oleh harga-harga

positif dan negatif dari f(x).

Gambar 4.2. Ilustrasi sejumlah cara yang umum bahwa sebuah akar bisa terjadi dalam sebuah

interval yang dijelaskan oleh batas bawah x_l dan batas atas x_u

Tetapi gambar 4.2d, dimana f(x_l) dan f(x_u) berlawanan tanda terhadap sumbu x, memperlihatkan 3 akar yang berada di dalam interval. Umumnya jika f(x_l) dan f(x_u) mempunyai tanda yang berbeda akan terdapat akar yang jumlahnya ganjil dalam interval. Seperti ditunjukkan oleh gambar 4.2a dan c, jika f(x_l) dan f(x_u) mempunyai tanda yang sama, tidak terdapat akar-akar atau akar yang jumlahnya genap berada diantara harga-harga itu. Meskipun generalisasi ini biasanya benar, namun terdapat kasus-kasus dimana hal itu tak dapat dipegang. Misalnya akar ganda. Yakni fungsi yang menyinggung sumbu x (gambar 4.3a) dan fungsi-fungsi diskontinu (gambar 4.3b) bisa menyalahi prinsip ini.

Pada gambar 4.3 di bawah ini, terlihat (a) Akar ganda yang terjadi sewaktu fungsi menyinggung sumbu x. Dalam hal ini, walaupun titik-titik ujungnya berlawanan tanda, terdapat akar-akar dalam jumlah genap untuk interval tersebut. (b) Fungsi diskontinu dimana titik-titik ujung tanda yang berlawanan juga mengurung akar-akar dalam jumlah genap. Strategi khusus dibutuhkan untuk penentuan akar-akar dalam kasus ini.

Gambar 4.3. Ilustrasi beberapa perkecualian terhadap kasus-kasus umum yang ditunjukkan dalam gambar 4.2

Sebagai contoh fungsi yang mempunyai akar ganda adalah persamaan kubik f(x) = (x – 2) (x – 2) (x – 4). Perhatikan bahwa x = 2 membuat kedua suku polinomial itu sama dengan 0. Jadi x = 2 disebut sebuah akar ganda. Adanya kasus-kasus seperti yang dinyatakan dalam gambar 4.3 di atas mempersulit pengembangan algoritma komputer secara umum yang menjamin penempatan semua akar dalam suatu interval. Tetapi kalau digunakan bersama-sama dengan pendekatan grafik, akan banyak memberikan nilai guna.

A.    Aplikasi Metode Bagi Dua untuk Menghitung Akar Persamaan

1.      Pengetian Metode Bagi Dua (Bisection)

Metode bagi dua (Bisection) disebut juga pemotongan biner (binary chopping), metode pembagian dua (interval halving). Prinsip metode bagi dua adalah mengurung akar fungsi pada interval [a,b]. Selanjutnya interval tersebut terus menerus dibagi dua hingga sekecil mungkin, sehingga nilai hampiran yang dicari dapat ditentukan dengan tingkat akurasi tertentu. Menentuka selang [a,b] sehingga f (a) . f (b) < 0. Pada setiap kali lelaran, selang [a,b] kita bagi dua di x = c, sehingga terdapat dua buah upaselang yang berukuran sama, yaitu [a,c] dan [c,b]. selang yang diambil untuk lelaran berikutnya adalah upaselang yang memuat akat, tergantung pada apakah f (a) . f (c) < 0 atau f (c) . f (b) < 0.

Selang yang baru dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya sampai ukuran selang yang baru sudah sangat kecil. Kondisi berhenti lelaran dapat dipilih salah satu dari tiga kriteria berikut:

Kasus yang mungkin terjadi pada penggunaann metode bagi dua (Bisection):

1)    Jumlah akar lebih dari satu

Bila dalam selang [𝑎, 𝑏] terdapat lebih dari satu akar (banyaknya akar ganjil), hanya satu buah akar yang dapat ditemukan. Cara mengatasinya: gunakan selang [𝑎, 𝑏] yang cukup kecil yang memuat hanya satu buah akar.

2)    Akar ganda 

Metode bagidua tidak berhasil menemukan akar ganda. Hal ini disebabkan karena tidak terdapat perbedaan tanda di ujungujung selang yang baru. 

Contoh: (𝑥) = (𝑥 − 3)2 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 3), mempunyai dua akar yang sama, yaitu 𝑥 = 3

3)    Singularitas 

Pada titik singular, nilai fungsinya tidak terdefinisi. Bila selang [𝑎, 𝑏] mengandung titik singular, lelaran metode bagidua tidak pernah berhenti. Penyebabnya, metode bagidua menganggap titik singular sebagai akar karena lelaran cenderung konvergen. Yang sebenarnya, titik singular bukanlah akar, melainkan akar semu.

Cara mengatasinya: periksa nilai |(𝑏) − 𝑓(𝑎)|. Jika |(𝑏) − 𝑓(𝑎)| konvergen ke nol, akar yang dicari pasti akar sejati, tetapi jika |𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)| divergen, akar yang dicari merupakan titik singular (akar semu). Pada setiap lelaran pada metode bagidua, kita mencatat bahwa selisih antara akar sejati dengan akar hampiran tidak pernah melebihi setengah panjang selang saat itu.

2.     Algoritma bisection adalah sebagai berikut:

B.    Kriteria Berhenti Iterasi

Teknik iterasi selalu mulai dengan suatu vektor awal x⁽⁰⁾ yang diasumsikan, dari vektor x⁽⁰⁾ nilai vektor x⁽¹⁾ yang baru dihitung. Nilai x⁽¹⁾ diharapkan lebih mendekati x yang merupakan vektor solusi. Dengan menggunakan x⁽¹⁾ kita hitung lagi vektor x⁽²⁾ yang baru, yang baik daripada x⁽¹⁾. Iterasi ini dapat dihentikan sampai vektor x⁽ⁿ⁾ yang didapatkan berada dalam toleransi konvergensi (Kosasih, 2006, hal. 87-96).

Selanjutnya, tidak semua SPL jika dipecahkan dengan teknik iterasi akan konverge atau mendekati solusi sebenarnya. Syarat utama suatu SPL bisa konverge adalah koefisien matriksnya harus diagonal dominan. Suatu sistem yang tidak diagonal dominan dapat dijadikan diagonal dominan dengan mengatur posisi lajur. Apabila tidak memungkinkan untuk membuat suatu SPL menjadi diagonal dominan kemungkinan sistem itu konverge atau tidak, tergantung kepada vektor x awal, karena tidak ada jaminan sistem ini akan konverge sembarang x awal (Kosasih, 2006, hal. 87-96).

Jumlah iterasi untuk mencapai konvergensi tergantung dari beberapa faktor antara lain:

1.       Tingkat dominan dari koefisien pada diagonalnya

2.       Vektor x awal

3.       Algoritma yang digunakan

4.       Kriteria konvergensinya

Ada tiga jenis algoritma iterasi yang populer, yaitu sebagai berikut:

1.       Iterasi Jacobi

2.       Iterasi Gauss Seidel

3.       Iterasi dengan suksesi relaksasi residu

1.   Iterasi Jacobi

Guna menjelaskan teknik ini kembali digunakan SPL yang dituliskan sebagai berikut:

Dari sistem persamaan di atas dapat diturunkan persamaan untuk x:

Secara umum persamaan (2-150) dapat dituliskan

            untuk i = 1, 2, ..., n

Guna menghitung x_i kita perlu mulai dengan sembarang vektor x.

Meskipun vektor x awal dapat diberikan nilai sembarang, tetapi penentuan nilai x ini sangat berpengaruh dalam konvergensi. Sebagai pedoman,umumnya kita bisa digunakan:

Superscript pada persamaan (2-153) menandakan iterasi ke-. Vektor x yang baru dihitung dengan x⁽⁰⁾ adalah:

Selanjutnya, dengan menggunakan x_i⁽¹⁾, x_i⁽²⁾ dapat kita hitung dengan persamaan (2-155). Proses iterasi ini diulangi terus sampai suatu kriteria konvergen dipenuhi. Algoritma ini mempunyai bentuk umum.

Atau bisa juga dituliskan dengan menambah kemudian mengurangi sisi-kanan (2-155) dengan x_i^(k)

            untuk i = 1, 2, ..., n

Kriteria untuk menentukan berhentinya iterasi adalah:

2.   Iterasi Gauss-Seidel

Pada metode iterasi Jacobi, x_i^(k+1) selalu ditentukan oleh x_i^(k). Kalau diperhatikan, tidak semua x_i^(k) harus berlaku untuk semua x_i sebab misalnya untuk menghitung x₂^(k+1), x₁^(k+1) sudah bisa digunakan. Begitu pula untuk menghitung x₃^(k+1), x₁^(k+1), dan x₂^(k+1), sudah bisa digunakan. Metode iterasi yang menerapkan prinsip ini disebut metode iterasi Gauss-Seidel. Proses iterasinya dapat dijelaskan sebagai berikut:

Secara umum persamaan (2-161) dapat dituliskan:

Atau dapat juga dituliskan dengan menambah kemudian mengurangi sisi-kanan (2-162) dengan x_i^(k).

Kriteria untuk menentukan berhentinya iterasi adalah:

 

3.   Iterasi Suksesi Relaksasi-Residu (SRR)

        Contoh Soal Metode Bagi Dua :

1.     Tentukan a (batas bawah) dan b (batas atas)

2.     Tentukan nilai c , c = a +b/2

3.      Menentukan nilai f(a),f(b), f(c)

4.      c pengecekan keberadaan akar , suatu range akar terdapat persamaan bila :

5.      Bila f(c) belum sama dengan nol , maka iterasi terus berlanjut

•       f(a) . F(c) < 0 maka b =c

•       f(a) . F(c) > 0 maka a =c

•       f(a) . F(c) = 0 maka  F(c)=0 , nilai akar pada c

Tentukan solusi dari persamaan :

y = x³ – 7x + 1

dengan error 0.0001.

 

 

Langkah 3 : Apakah f (xn) dan f (xmid) sama tanda? Jika sama tanda maka xmid menggantikan xn, sedangkan jika berbeda tanda maka xmid menggantikan xn+1.

Terlihat dari tabel 1, f (xn) = -0.875 dan f (xmid) = -0.269 sama tanda, maka xmid = 2.55 menggantikan xn = 2.5

 

                     Setelah diRun :